\documentclass{../bkm}
\begin{document}
    \heading{FIS}{Wechselstromtechnik}{12.12.2022}
    \section{Elemente im Wechselstromkreis}
    \subsection{Ohmscher Widerstand / Wirkwiderstand}
    Ein Ohmscher Widerstand wandelt Strom in Wärme um.
    \\\\
    Größen: \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|l}
        $R$ & Widerstand \\\hline
        $U_R$ & Spannung \\\hline
        $I$ & Strom \\\hline
        $P [W]$ & Leistung
    \end{tabular}
    \end{center}
    Formeln:
    \begin{enumerate}
        \item $U_R = R * I$
        \item $P = U_R * I$
    \end{enumerate}
    Ein Ohmscher Widerstand verhält sich bei Gleichspannung genauso wie bei Wechselspannung.
    \subsection{Spule / Induktivität / Induktiver Blindwiderstand}
    Eine Spule erzeugt ein magnetisches Feld. \\
    Das Verhalten ist Frequenzabhängig. \\
    Eine 'ideale Spule' an Gleichstrom stellt effektiv einen Kurzschluss dar.
    \\\\
    Größen: \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|l}
        $I$ & Strom \\\hline
        $U_{BL}$ & Blindspannung \\\hline
        $X_L$ & Blindwiderstand \\\hline
        $Q_L [VAr]$ & Blindleistung \\\hline
        $L$ & Induktivität
    \end{tabular}
    \end{center}
    Formeln:
    \begin{enumerate}
        \item $U_{BL} = X_L * I$
        \item $Q_L = U_{BL} * I$
    \end{enumerate}
    \pagebreak
    \subsection{Kondensator / Kapazität}
    Eine kapazitive Last ist sozusagen das Gegenteil von einer induktiven Last. \\
    Das Verhalten ist Frequenzabhängig. \\
    Ein 'idealer Kondensator' stellt einen kapazitiven Blindwiderstand dar. \\
    Im Gleichstromkreis wirkt ein Kondensator wie eine Unterbrechung.
    \\\\
    Alle Größen wirken entgegengesetzt den Induktiven und Ohmschen Größen. \\
    Größen: \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|l}
        $X_C$ & Kapazitiver Blindwiderstand \\
        $U_{BC}$ & Kapazitive Blindspannung \\
        $Q_C [VAr]$ & Kapazitive Blindleistung
    \end{tabular}
    \end{center}
    Formeln: \\
    \begin{enumerate}
        \item $X_C = \frac{1}{2*\pi*f*C}$
        \item $U_{BC} = X_C * I$
        \item $Q_C = U_{BC} * I$
    \end{enumerate}
    \pagebreak
    \ddate{19.12.2022}
    \pagebreak
    \section{Aufgaben}
    \subsection{Vertretungsaufgaben Drehstrommotoren - Rechenbuch}
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 1}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= 680\Omega \\
        P &= 2W
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Effektivwert}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_{eff} &= ?
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Spitzenwert}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{u} &= 2 * P \\
        \hat{u} &= 2 * 2W \\
        \hat{u} &= 4W
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 2}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        P_1 &= 950W \\
        P_2 &= 1.7kW \\
        \\
        R_1 &= \frac{U^2}{P_1 * 2} \\
        R_1 &= \frac{(230V)^2}{950W * 2} \\
        R_1 &= 27.842\Omega \\
        \\
        R_2 &= \frac{U^2}{P_2 * 2} \\
        R_2 &= \frac{(230V)^2}{1.7kW * 2} \\
        R_2 &= 15.559\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 3}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        P_{eff} &= 1.2kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Widerstandswert}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= \frac{U^2}{P_{eff} / 2} \\
        R &= \frac{(230V)^2}{1.2kW / 2} \\
        R &= 88.167\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Spitzenwert Strom}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{p} &= P_{eff} * 2 \\
        \hat{p} &= 1.2kW * 2 \\
        \hat{p} &= 2.4kW \\
        \\
        \hat{i} &= \frac{\hat{p}}{U} \\
        \hat{i} &= \frac{2.4kW}{230V} \\
        \hat{i} &= 10.434A
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c) - Spitzenwert Leistung}
    Siehe Teilaufgabe b)
    \begin{equation}
        \hat{P} = 2.4kW
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 4}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P_{eff} &= 900W \\
        \hat{i} &= 5.53A
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Spitzenwert Wirkleistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{p} &= P_{eff} * 2 \\
        \hat{p} &= 900W * 2 \\
        \hat{p} &= 1.8kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Wirkspannung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{eff} &= \frac{\hat{i}}{2} \\
        I_{eff} &= \frac{5.53A}{2} \\
        I_{eff} &= 2.765A \\
        \\
        U_{eff} &= \frac{P_{eff}}{I_{eff}} \\
        U_{eff} &= \frac{900W}{2.765A} \\
        U_{eff} &= 325.497V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 5}
    ich mess jetzt nicht im buch rum !!
    \subsubsection{7.5.1 - Aufgabe 6}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{u_w} &= 325V \\
        \hat{i_w} &= 6.15A
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Spitzenwert Wirkleistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{p_w} &= \hat{u_w} * \hat{i_w} \\
        \hat{p_w} &= 325V * 6.15A \\
        \hat{p_w} &= 1.99kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Momentanwert Leistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f &= 30Hz \\
        t_1 &= 1ms \\
        t_2 &= 2.5ms \\
        t_3 &= 4ms \\
        \\
        P_t &= \hat{p} * \sin(2*\pi*f*t) \\
        \\
        P_{t_1} &= 1.99kW * \sin(2*\pi*30Hz*0.001s) \\
        P_{t_1} &= 372W \\
        \\
        P_{t_2} &= 1.99kW * \sin(2*\pi*30Hz*0.0025s) \\
        P_{t_2} &= 903.44W \\
        \\
        P_{t_3} &= 1.99kW * \sin(2*\pi*30Hz*0.004s) \\
        P_{t_3} &= 1.362kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.2 - Aufgabe 1}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f &= 200Hz \\
        L &= 85mH \\
        \\
        X_L &= L*2*\pi*f \\
        X_L &= 85mH*2*\pi*200Hz \\
        X_L &= 106.814\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.2 - Aufgabe 2}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f &= 100Hz \\
        X_L &= 6.3k\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*f} \\
        L &= \frac{6.3k\Omega}{2*\pi*100Hz} \\
        L &= 10.026H
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.2 - Aufgabe 3}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        L &= 30mH \\
        X_L &= 189\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*f} \\
        L*2*\pi*f &= X_L \\
        f &= \frac{X_L}{L*2*\pi} \\
        f &= \frac{189\Omega}{30mH*2*\pi} \\
        f &= 1kHz
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.2 - Aufgabe 4}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        L &= 200mH \\
        U &= 230V
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Induktive Blindleistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f &= 50Hz \\
        \\
        X_L &= L*2*\pi*f \\
        X_L &= 200mH*2*\pi*50Hz \\
        X_L &= 62.382\Omega \\
        \\
        I &= \frac{U}{X_L} \\
        I &= \frac{230V}{62.382\Omega} \\
        I &= 3.66A \\
        \\
        Q_L &= X_L * I^2 \\
        Q_L &= \frac{U_{XL}^2}{X_L} \\
        Q_L &= 62.382\Omega * (3.66A)^2 \\
        Q_L &= 835.901VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    $I$ wurde errechnet basierend auf der Annahme, dass es sich um eine reine Spule handelt.
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Induktiver Blindstrom}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{B_L} &= \frac{U}{X_L} \\
        I_{B_L} &= \frac{230V}{62.382\Omega} \\
        I_{B_L} &= 3.66A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.2 - Aufgabe 5}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        Q_L &= 500VAr \\
        \\
        U_{X_L} &= U * \cos(f) \\
        U_{X_L} &= 230V * \cos(50Hz) \\
        U_{X_L} &= 221.94V \\
        \\
        I &= \frac{Q_L}{U_{X_L}} \\
        I &= \frac{500VAr}{221.94V} \\
        I &= 2.253A \\
        \\
        X_L &= U_{X_L} / I \\
        X_L &= 221.94V / 2.253A \\
        X_L &= 98.515\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*fHz} \\
        L &= \frac{98.515\Omega}{2*\pi*50Hz} \\
        L &= 313.59mH
    \end{split}
    \end{equation}
    $I$ wurde errechnet basierend auf der Annahme, dass es sich um eine reine Spule handelt.
    \subsubsection{7.5.3 - Aufgabe 1}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        C &= 4.7\mu F \\
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Kapazitiver Blindwiderstand}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*f*C} \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*50Hz*4.7\mu F} \\
        X_C &= 677.255\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Kapazitiver Blindstrom}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{BC} &= \frac{U_{BC}}{X_C} \\
        I_{BC} &= \frac{230V}{677.255\Omega} \\
        I_{BC} &= 339.6mA
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.3 - Aufgabe 2}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        X_C &= 1.45k\Omega \\
        \\
        C &= \frac{1}{2*\pi*f*X_C} \\
        C &= \frac{1}{2*\pi*50Hz*1.45k\Omega} \\
        C &= 2.195\mu F
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.3 - Aufgabe 3}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        X_C &= 2.34k\Omega \\
        C &= 68nF
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Frequenz}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f &= \frac{1}{X_C*2*\pi*C} \\
        f &= \frac{1}{2.34k\Omega*2*\pi*68nF} \\
        f &= 1kHz
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Neuer Blindwiderstand}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        f_{neu} &= f_{alt} / 2 \\
        f &= 1kHz / 2 \\
        f &= 500Hz \\
        \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*f*C} \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*500Hz*68nF} \\
        X_C &= 4.681k\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.3 - Aufgabe 4}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        C &= 16\mu F \\
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*f*C} \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*50Hz*16\mu F} \\
        X_C &= 198.944\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b) - Blindstrom}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{BC} &= \frac{U}{X_C} \\
        I_{BC} &= \frac{230V}{198.944\Omega} \\
        I_{BC} &= 1.156A
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a) - Blindleistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q_C &= U*I_{BC} \\
        Q_C &= 230V*1.156A \\
        Q_C &= 265.899VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c) - Neue Blindleistung und -strom}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        C &= 14\mu F \\
        \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*f*C} \\
        X_C &= \frac{1}{2*\pi*50Hz*14\mu F} \\
        X_C &= 227.364\Omega \\
        \\
        I_{BC} &= \frac{U}{X_C} \\
        I_{BC} &= \frac{230V}{227.364\Omega} \\
        I_{BC} &= 1.011A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{7.5.3 - Aufgabe 5}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        Q_C &= 1.13kVAr \\
        \\
        ?
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Kapitel 7.6.1}
    \subsubsection{Aufgabe 1}
    \paragraph{Teilaufgabe a)} Nein.
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_R &= 115V \\
        U_{X_L} &= 200V \\
        \\
        U &= \sqrt{U_R^2 + U_{X_L}^2} \\
        U &= \sqrt{(115V)^2 + (200V)^2} \\
        U &= 230.71V
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \varphi &= \cos(\frac{U}{U_{X_L}}) \\
        \varphi &= \cos(\frac{200V}{230V}) \\
        \varphi &= 0.516
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 2}
    \paragraph{Teilaufgabe a)} Nein.
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        \varphi &= 53^\circ \\
        \\
        U_W &= U * \cos(\varphi) \\
        U_W &= 230V * \cos(53^\circ) \\
        U_W &= -211.205V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 3}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \varphi &= 60^\circ \\
        U_W &= 120V \\
        \\
        U_{X_L} &= \tan(60^\circ) * U_W \\
        U_{X_L} &= \tan(60^\circ) * 120V \\
        U_{X_L} &= 207.85V \\
        \\
        (falsch) U &= \frac{U_W}{\cos(\varphi)} \\
        (falsch) U &= \frac{120V}{\cos(60^\circ)} \\
        (falsch) U &= -126V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 4}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= 26\Omega \\
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        I &= 6.8A
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Z &= \frac{U}{I} \\
        Z &= \frac{230V}{6.8A} \\
        Z &= 33.82\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_R &= R * I \\
        U_R &= 26\Omega * 6.8A \\
        U_R &= 176.8V \\
        \\
        U_{X_L} &= \sqrt{U^2-U_R^2} \\
        U_{X_L} &= \sqrt{(230V)^2-(176.8V)^2} \\
        U_{X_L} &= 147.11V \\
        \\
        X_L &= \frac{U_{X_L}}{I} \\
        X_L &= \frac{147.11V}{6.8A} \\
        X_L &= 21.66\Omega \\
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*f} \\
        L &= \frac{21.66\Omega}{2*\pi*50Hz} \\
        L &= 68.8mH
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe d)}
    \begin{equation}
        U_R = 176.8V
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe e)}
    \begin{equation}
        U_{X_L} = 147.11V
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 5}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        \varphi &= 0.927 \\
        I &= 180mA
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        S &= U * I \\
        S &= 230V * 180mA \\
        S &= 41.4VA
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= S * \cos(\varphi) \\
        P &= 41.4VA * 0.6 \\
        P &= 24.84W
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q_L &= \sqrt{S^2-P^2} \\
        Q_L &= \sqrt{(41.4VA)^2-(24.84W)^2} \\
        Q_L &= 33.12VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 6}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        I &= 1.6A \\
        P &= 282W
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        S &= U * I \\
        S &= 230V * 1.6A \\
        S &= 368VA
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \cos(\varphi) &= \frac{P}{S} \\
        \cos(\varphi) &= \frac{282W}{368W} \\
        \cos(\varphi) &= 0.77
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q_L &= \sqrt{S^2-P^2} \\
        Q_L &= \sqrt{(368VA)^2-(282W)^2} \\
        Q_L &= 236.43VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Kapitel 7.6.4}
    \subsubsection{Aufgabe 1}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_W &= 12V \\
        U_{b_C} &= 18V
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)} Nein.
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= \sqrt{U_R^2+U_{b_C}^2} \\
        U &= \sqrt{(12V)^2+(18V)^2} \\
        U &= 21.63V \\
        \\
        \varphi &= \arctan(\frac{U_W}{U_{b_C}}) \\
        \varphi &= \arctan(\frac{12V}{18V}) \\
        \varphi &= 56.31^\circ
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 2}
    Gegeben:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_W &= 83V \\
        \varphi &= 27^\circ
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)} Nein.
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= \frac{U}{\cos(\varphi)} \\
        U &= \frac{83V}{\cos(27^\circ)} \\
        U &= 93.26V \\
        \\
        U_{b_C} &= \sqrt{U^2-U_R^2} \\
        U_{b_C} &= \sqrt{(93.26V)^2-(83V)^2} \\
        U_{b_C} &= 42.52V
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}