\documentclass{../bkm}
\begin{document}
    \heading{PRÜ}{Wechselspannung und -strom}{22.8.2022}
    \section{Grundvorraussetzungen}
    \begin{enumerate}
        \item Wechselgrößen sind so definiert, dass die Halbwellen oberhalb und unterhalb der x-Achse immer gleich groß sind.
        \item Frequenz: Beschreibt wieviel Zyklen in einer Sekunde durchlaufen werden.\\Einheit: Hertz $[Hz] \Leftrightarrow \frac{1}{[s]}$
        \item Periodendauer: Kehrwert der Frequenz $T \Rightarrow [s]$
        \item Effektivwert: Gibt an, mit welcher Gleichspannung die gleiche Leistung an einem Widerstand umgesetzt wird, wie mit der vorgegebenen Wechselspannung.
            \begin{equation}
            \begin{split}
                U_{eff} &= \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \\
                U_{eff} &\simeq 230V \\
                U_{eff} &= 400V
            \end{split}
            \end{equation}
        \item Spitzenwert: Betragsmäßig größter Wert der Spannung
        \item Momentanwert: (Radian / RAD / R)
            \begin{equation}
            \begin{split}
                u_t &= \hat{u} * \sin(w*t) \\
                &= \hat{u} * \sin(2 * \pi * f * t) \\
                f &= \frac{1}{T} \\
                \hat{u} &= \sqrt{2} * U_{eff}
            \end{split}
            \end{equation}
    \end{enumerate}
    \subsection{Beispielaufgaben}
    \subsubsection{Aufgabe 1}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_{eff} &= 230V \\
        f &= 50Hz \\
        t &= 5ms \\
        \\
        \hat{u} &= \sqrt{2} * U_{eff} \\
        \hat{u} &= \sqrt{2} * 230V \\
        \hat{u} &= 325.2691193458V \\
        \\
        u_t &= \hat{u} * \sin(2 * \pi * f * t) \\
        u_t &= 325.269V * \sin(2 * \pi * 50Hz * 0.005s) \\
        u_t &= 325.269V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 2}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{eff} &= 3.535A \\
        f &= 50Hz \\
        t &= 2ms \\
        \\
        \hat{i} &= \sqrt{2} * I_{eff} \\
        \hat{i} &= \sqrt{2} * 3.535A \\
        \hat{i} &= 4.999A \\
        \\
        i_t &= \hat{i} * \sin(2 * \pi * f * t) \\
        i_t &= 4.999A * \sin(2 * \pi * 50Hz * 2ms) \\
        i_t &= 2.938A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 3}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{u} &= 100V \\
        f &= 50Hz \\
        t &= 12ms \\
        \\
        U_{eff} &= \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \\
        U_{eff} &= \frac{100V}{\sqrt{2}} \\
        U_{eff} &= 70.711V \\
        \\
        u_t &= \hat{u} * \sin(2 * \pi * f * t) \\
        u_t &= 100V * \sin(2 * \pi * 50Hz * 12ms) \\
        u_t &= -58.778V \\
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 4}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        i_t &= 23.776A \\
        f &= 200Hz \\
        t &= 1ms \\
        \\
        \hat{i} &= \frac{i_t}{\sin(2 * \pi * f * t)} \\
        \hat{i} &= \frac{23.776A}{\sin(2 * \pi * 200Hz * 1ms)} \\
        \hat{i} &= 24.999A \\
        \\
        I_{eff} &= \frac{\hat{i}}{\sqrt{2}} \\
        I_{eff} &= \frac{24.999A}{\sqrt{2}} \\
        I_{eff} &= 17.677A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 5}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \hat{u} &= 40V \\
        u_t &= 28.2843V \\
        f &= 50Hz \\
        \\
        U_{eff} &= \frac{\hat{u}}{\sqrt{2}} \\
        U_{eff} &= \frac{40V}{\sqrt{2}} \\
        U_{eff} &= 28.284V \\
        \\
        t &= \frac{\arcsin(\frac{u_t}{\hat{u}})}{2 * \pi * f} \\
        t &= \frac{\arcsin(\frac{28.2843V}{40V})}{2 * \pi * 50Hz} \\
        t &= 0.1432ms
    \end{split}
    \end{equation}
    \pagebreak
    \subsection{Induktivität}
    Die Einheit für Induktivität ist Henry $= [L]$. \\
    Die Einheit für Blindwiderstand ist Ohm $= [X_L]$. \\
    Mit dieser Einheit kann mithilfe der Frequenz der Blindwiderstand der Spule ausgerechnet werden. \\
    Ein Magnetfeld wird mit $B_\sim$ dargestellt. Es entspricht dem Cosinus gegen den Sinus der Spannung. \\
    Induktivität wird berechnet wie folgt:
    \begin{equation}
        L = \frac{X_L}{2 * \pi * f}
    \end{equation}
    Induktive Spannung wird berechnet wie folgt:
    \begin{equation}
        u_i = n * \frac{\Delta B}{\Delta t}
    \end{equation}
    \subsection{Wechselstromgrößen}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c||c| c |c| c |c}
        & Widerstand && Spannung && Leistung \\
        \hline \hline
        Wirk- & $R = [\Omega]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $U_R = [V]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $P = [W]$ \\
        \hline
        Blind- & $X_L = [\Omega]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $U_{X_L} = [V]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $Q_L = [VAr]$ \\
        \hline
        Schein- & $Z = [\Omega]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $U = [V]$ & $\overrightarrow{*I}$ & $S = [VA]$
    \end{tabular}
    \end{center}
    Scheinwerte sind das Pythagoras-Produkt aus Wirk- und Blindwerten.
    \subsubsection{Beispielaufgabe 1}
    Scheinleistung errechnen
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= 50\Omega \\
        X_L &= 100\Omega \\
        U_{X_L} &= 200V \\
        \\
        I &= \frac{U{X_L}}{X_L} \\
        I &= \frac{200V}{100\Omega} \\
        I &= 2A \\
        \\
        P &= R * I^2 \\
        P &= 50\Omega * 2A^2 \\
        P &= 200W \\
        \\
        Q &= U{X_L} * I \\
        Q &= 200V * 2A \\
        Q &= 400W \\
        \\
        S &= \sqrt{P^2 + Q^2} \\
        S &= \sqrt{200W^2 + 400W^2} \\
        S &= 447.2136W
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Ersatzaufgaben Rechenbuch S. 103}
    \subsubsection{Aufgabe 11}
    Ersatzschaltung einer realen Spule
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 25V \\
        I &= 160mA \\
        f &= 200Hz \\
        U_{R1} &= 1.6V
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    Induktive Blindspannung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_{X_L} &= \sqrt{U^2 - U_{R1}^2} \\
        U_{X_L} &= \sqrt{25V^2 - 1.6V^2} \\
        U_{X_L} &= 24.948V
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    Wirkwiderstand
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= \frac{U}{I} \\
        R &= \frac{25V}{160mA} \\
        R &= 156.25\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    Induktivität
    \begin{equation}
    \begin{split}
        X_L &= \frac{U_{X_L}}{I} \\
        X_L &= \frac{24.948V}{160mA} \\
        X_L &= 156\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2 * \pi * f} \\
        L &= \frac{155.93\Omega}{2 * \pi * 200Hz} \\
        L &= 124mH
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe d)}
    Scheinleistung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        S &= U * I \\
        S &= 25V * 160mA \\
        S &= 4VA
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe e)}
    Wirkleistung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= U_R * I \\
        P &= 1.6V * 160mA \\
        P &= 0.256W
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe f)}
    Blindleistung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q &= U_{X_L} * I \\
        Q &= 24.948V * 160mA \\
        Q &= 3.991VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe g)}
    Phasenverschiebungswinkel
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \varphi &= \arccos(\frac{P}{S}) \\
        \varphi &= \arccos(\frac{0.256W}{4VA}) \\
        \varphi &= 86.33^{\circ}
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 12}
    Versuchsschaltung mit einer Spule
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 45V \\
        I &= 1.8A \\
        P &= 30W \\
        f &= 50Hz
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    Scheinleistung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        S &= U * I \\
        S &= 45V * 1.8A \\
        S &= 81VA
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe b)}
    Phasenverschiebungswinkel
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \varphi &= \arccos(\frac{P}{S}) \\
        \varphi &= \arccos(\frac{30W}{81VA}) \\
        \varphi &= 68.26^{\circ}
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe c)}
    Blindleistung
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q &= \sqrt{S^2 - P^2} \\
        Q &= \sqrt{81VA^2 - 30W^2} \\
        Q &= 75.24VAr
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe d)}
    Wirkwiderstand
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= \frac{P}{I^2} \\
        R &= \frac{30W}{1.8A^2} \\
        R &= 9.259\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teilaufgabe e)}
    Induktivität
    \begin{equation}
    \begin{split}
        X_L &= \frac{Q}{I^2} \\
        X_L &= \frac{809.44VAr}{1.8A^2} \\
        X_L &= 23.22\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2 * \pi * f} \\
        L &= \frac{23.22\Omega}{2 * \pi * 50Hz} \\
        L &= 73.9mH
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe 8}
    \paragraph{Teilaufgabe a)}
    Umso höher die Frequenz des Stroms, desto höher ist der Blindwiderstand.
    \\
    Induktivitä spielt hier kaum eine Rolle.
    \subsubsection{Aufgabe von Tafel}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= 200W \\
        U_{X_L} &= 150V \\
        R &= 50\Omega \\
        f &= 50Hz \\
        \\
        I &= \sqrt{P/R} \\
        I &= \sqrt{\frac{200W}{50\Omega}} \\
        I &= 2A \\
        \\
        U_R &= R * I \\
        U_R &= 50\Omega*2A \\
        U_R &= 100V \\
        \\
        U &= \sqrt{U_{X_L}^2 - U_R^2} \\
        U &= \sqrt{(150V)^2 - (100V)^2} \\
        U &= 111.8V \\
        \\
        X_L &= \frac{U_{X_L}}{I} \\
        X_L &= \frac{150V}{2A} \\
        X_L &= 75\Omega \\
        \\
        Q_L &= U_{X_L} * I \\
        Q_L &= 150V * 2A \\
        Q_L &= 300VAr \\
        \\
        Z &= \sqrt{R^2+X_L^2} \\
        Z &= \sqrt{(50\Omega)^2+(75\Omega)^2} \\
        Z &= 90.138\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        S &= \sqrt{P^2+Q_L^2} \\
        S &= \sqrt{(200W)^2+(300VAr)^2} \\
        S &= 460.55VA \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*f} \\
        L &= \frac{75\Omega}{2*\pi*50Hz} \\
        L &= 0.238H \\
        \\
        \phi &= \frac{P}{S} \\
        \phi &= \frac{200W}{460.55VA} \\
        \phi &= 1.122
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabe mit wenig gegebenen Größen}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R &= 250\Omega \\
        S &= 2kVA \\
        \varphi &= 60^\circ \\
        f &= 50Hz
    \end{split}
    \end{equation}
    Aus $\varphi$ können wir eine der fehlenden Größen erhalten, um $I$ zu errechnen:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q_L &= \frac{S}{\sin(90^\circ)} * \sin(\varphi) \\
        Q_L &= \frac{2kVA}{\sin(90^\circ)} * \sin(60^\circ) \\
        Q_L &= 1.73kVAr \\
        \\
        I &= \sqrt{\frac{P}{R}} \\
        I &= \sqrt{\frac{1kW}{250\Omega}} \\
        I &= 2A
    \end{split}
    \end{equation}
    Jetzt können wir bequem die restlichen Größen errechnen:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= \sqrt{S^2 - P^2} \\
        P &= \sqrt{(2kVA)^2 - (1.73kVAr)^2} \\
        P &= 1kW \\
        \\
        U_R &= R * I \\
        U_R &= 250\Omega * 2A \\
        U_R &= 500V \\
        \\
        U &= \frac{S}{I} \\
        U &= \frac{2kVA}{2A} \\
        U &= 1kV \\
        \\
        Z &= \frac{U}{I} \\
        Z &= \frac{1kV}{2A} \\
        Z &= 500\Omega \\
        \\
        U_{X_L} &= \frac{Q_L}{I} \\
        U_{X_L} &= \frac{1.73kVAr}{2A} \\
        U_{X_L} &= 865V \\
        \\
        X_L &= \frac{U_{X_L}}{I} \\
        X_L &= \frac{865V}{2A} \\
        X_L &= 432.5\Omega \\
        \\
        L &= \frac{X_L}{2*\pi*f} \\
        L &= \frac{432.5\Omega}{2*\pi*50Hz} \\
        L &= 1.38H
    \end{split}
    \end{equation}
    \pagebreak
    \section{Spulen in Reihenschaltung}
    Wirk- und Blindwerte von Spule 1 und 2 dürfen immer zum Gesamtwert addiert werden, da es sich um die Katheten handelt.
    \\
    Die Scheinwerte der Gesamttabelle müssen über den Satz des Pythagoras ausgerechnet werden.
    Sofern beide Spulen einen ähnlichen Phasenverschiebungswinkel vorweisen ($\Delta\varphi_{1,2} \leq 1^\circ$), so können die Scheinwerte auch nahezu fehlerfrei addiert werden.
    \\
    \\
    \begin{tabular}{l || c|c|c || c|c|c || c|c|c}
        Element & \multicolumn{3}{c||}{1} & \multicolumn{3}{c||}{2} & \multicolumn{3}{c}{Gesamt} \\
        \hline
        Einheit & Wider & Spng & Lstg & Wider & Spng & Lstg & Wider & Spng & Lstg \\
        \hline
        \hline
        Wirk- & $50\Omega$ & $100V$ & $200W$ & $120\Omega$ & $240V$ & $480W$ & \makecell{$R_{1+2}$ \\ $170\Omega$} & \makecell{$U_{R_{1+2}}$ \\ $340V$} & \makecell{$P_{1+2}$ \\ $680W$} \\
        \hline
        Blind- & $30\Omega$ & $60V$ & $120VAr$ & $90\Omega$ & $180V$ & $360VAr$ & \makecell{$X_{L_{1+2}}$ \\ $120\Omega$} & \makecell{$U_{BL_{1+2}}$ \\ $240V$} & \makecell{$Q_{L_{1+2}}$ \\ $480VAr$} \\
        \hline
        Schein- & $58.3\Omega$ & $116.6V$ & $233.2VA$ & $150\Omega$ & $300V$ & $600VA$ & $208.1\Omega$ & $416.2V$ & $832.4VA$
    \end{tabular}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I &= \sqrt{\frac{S_2}{Z_2}} \\
        I &= 2A \\
        \\
        Z_1 &= \sqrt{R_1^2 + X_{L_1}^2} \\
        Z_1 &= \sqrt{(50\Omega)^2 + (30\Omega)^2} \\
        \\
        X_{L_2} &= \sqrt{Z^2 - R^2} \\
        X_{L_2} &= \sqrt{(150\Omega)^2 - (120\Omega)^2} \\
        \\
        Z &= \sqrt{(170\Omega)^2 + (120\Omega)^2} \\
        Z &= 208.1\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}
