\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{REN}{Spannungsteiler}{5.5.2022}
    \section{Unbelastete Spannungsteiler}
    Spannungsteiler sind Schaltungen, die mithilfe zweier in Reihe geschalteten Widerstände (zB Potentiometer) die Spannung für einen Endgebraucher regulieren können.
    Da Spannungsteiler aus Reihenschaltungen bestehen, ist die Berücksichtigung des Stromes im unbelasteten Fall nicht notwendig. \\
    Die Spannung für einen Unbelasteten Spannungsteiler berechnet sich wie folgt:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \frac{U_{20}}{U} &= \frac{R_2}{R_1 + R_2} \\
        U_{20} &= \frac{R_2 * U}{R_1 + R_2}
    \end{split}
    \end{equation}
    Beispiel: Berechnung der Leerlaufspannung berechnen
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \frac{R_1}{R_1 + R_2} &= \frac{U_1}{U} \\
        U_1 &= \frac{R_1 * U}{R_1 + R_2} \\
        U_1 &= \frac{10\Omega * 24V}{10\Omega + 5\Omega} \\
        U_2 &= \frac{R_2 * U}{R_1 + R_2} \\
        U_2 &= \frac{5\Omega * 24V}{10\Omega + 5\Omega}
    \end{split}
    \end{equation}
    \section{Belastete Spannungsteiler}
    Ein belasteter Spannungsteiler besteht aus einer Parallelschaltung, die in Reihe zu dem ersten Widerstand geschaltet ist.
    Hierbei ist der zusätzliche, parallele Widerstand eine Last, die reguliert werden soll.
    \\
    Der Gesamtstrom eines belasteten Spannungsteilers kann mit folgenden Formeln berechnet werden:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_1 &= \frac{U_0 - U_L}{R_1} \\
        I_1 &= I_q + I_L
    \end{split}
    \end{equation}
    Die Spannung am Gegenwiderstand eines belasteten Spannungsteilers, in dem alle Widerstände gleich sind, wird mit folgender Formel berechnet:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_2 &= \frac{U_1}{2} \\
        U_2 &= \frac{1}{3} * U_{ges}
    \end{split}
    \end{equation}
    Das Querstromverhältnis aus den Strömen eines belasteten Spannungsteilers, in dem alle Widerstände gleich sind, wird mit folgender Formel berechnet:
    \begin{equation}
        q = \frac{I_q}{I_2}
    \end{equation}
    Das Querstromverhältnis aus den Spannungen eines belasteten Spannungsteilers, in dem alle Widerstände gleich sind, wird mit folgender Formel berechnet:
    \begin{equation}
        q = \frac{R_L}{R_2}
    \end{equation}
    \subsection{Querstromverhältnis}
    Der Querstrom \begin{math}I_Q\end{math} bezeichnet den Strom, der entgegen der Last anliegt.
    Um das Querstromverhältnis zu berechnen, werden die Ströme der beiden Teilwiderstände geteilt;
    \\
    Wenn das Querstromverhältnis falsch gewählt wird, entsteht ein Spannungsfall an der Lastseite.
    Ein Spannungsteiler gilt als 'stabil', wenn das Querstromverhältnis \begin{math}2 \leq q \leq 10\end{math} ist.
    \\
    Wenn der Lastwiderstand hochohmig (größer als der Teilerwiderstand) ist, so kann man den Spannungsfall durch die Belastung des Spannungsteilers vernachlässigen,
    da der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ungefähr dem deds kleinsten Teilwiderstandes entspricht.
    \\
    Je größer das Querstromverhältnis \begin{math}q\end{math} ist, umso stabiler ist die Ausgangsspannung \begin{math}U_2\end{math} bei schwankendem Laststrom \begin{math}I_L\end{math}.
    Es fließt ein größerer Querstrom \begin{math}I_q\end{math}. Dadurch wird die Verlustleistung an den Widerständen des Spannungsteilers erhöht.
    \subsection{Beispielaufgabe}
    Gegeben sind:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R_1 &= 1k\Omega \\
        R_2 &= 500\Omega
    \end{split}
    \end{equation}
    Gesucht sind:
    \paragraph{Teil A} \begin{math}q\end{math} bei \begin{math}R_2 = 500\Omega\end{math}
    Berechnung:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        q &= \frac{R_L}{R_2} \\
        q &= \frac{500\Omega}{500\Omega} \\
        q &= 1
    \end{split}
    \end{equation}
    \paragraph{Teil B} \begin{math}q\end{math} bei \begin{math}R_2 = 5k\Omega\end{math}
    Berechnung:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        q &= \frac{5k\Omega}{500\Omega} \\
        q &= 10
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}