\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{REN}{Schaltalgebra}{5.5.2022}
    \section{Schaltalgebra}
    \subsection{Signalformen}
    In der Signaltechnik wird zwischen drei Signalarten Unterschieden:
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
        Signaltyp & Beschreibung & Beispiel \\
        \hline
        Analogsignal & Kontinuierliches, stufenlos veränderbares Signal & Potentiometer \\
        Digitalsignal & Physikalische Größe, gestuft im Takt veränderbar & Digitales Messgerät \\
        Binärsignal & Ein Digitalsignal mit zwei Zuständen; 0 und 1 & Wechselschaltung
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsection{DeMorgen'sche Gesetz}
    Alle Funktionsgleichungen können nach folgendem Schema umgewandelt werden.
    So wird die Funktionsgleichung \begin{math}X = \overline{A \vee B}\end{math} wie folgt umgestellt:
    \begin{enumerate}
        \item Alle Eingänge werden Negiert%: \begin{math}X = \overline{\overline{A} \vee \overline{B}}\end{math}
        \item Tausch von OR und AND%: \begin{math}X = \overline{\overline{A} \wedge \overline{B}}\end{math}
        \item Negierung des Ausgangs%: \begin{math}X = \overline{A} \wedge \overline{B}\end{math}
    \end{enumerate}
    \section{Aufgaben}
    \subsection{Arbeitsblatt 1: Schaltalgebra}
    \subsubsection{Schaltalgebraische Funktionen}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
        Zeichen & Benennung & Schreibweise \\
        \hline
        \begin{math}\overline{}\end{math} & NOT & \begin{math}\overline{A}\end{math} \\
        \begin{math}\vee\end{math} & OR & \begin{math}A \vee B\end{math} \\
        \begin{math}\wedge\end{math} & AND & \begin{math}A \wedge B\end{math} \\
        %\begin{math}\veebar\end{math} & XOR & \begin{math}A \veebar B\end{math} \\
        \begin{math}\overline{\vee}\end{math} & NOR & \begin{math}A \overline{\vee} B\end{math} \\
        \begin{math}\overline{\wedge}\end{math} & NAND & \begin{math}A \overline{\wedge} B\end{math}
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsubsection{Schaltalgebraische Grundfunktionen}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c ||c|| c}
        A & B & Operator & Ergebnis \\
        \hline
        0 & & \begin{math}\overline{A}\end{math} & 1 \\
        1 & & \begin{math}\overline{A}\end{math} & 0 \\
        \hline
        0 & 0 & \begin{math}A \vee B\end{math} & 0 \\
        0 & 1 & \begin{math}A \vee B\end{math} & 1 \\
        1 & 0 & \begin{math}A \vee B\end{math} & 1 \\
        1 & 1 & \begin{math}A \vee B\end{math} & 1 \\
        \hline
        0 & 0 & \begin{math}A \wedge B\end{math} & 0 \\
        0 & 1 & \begin{math}A \wedge B\end{math} & 0 \\
        1 & 0 & \begin{math}A \wedge B\end{math} & 0 \\
        1 & 1 & \begin{math}A \wedge B\end{math} & 1
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsubsection{Wahrheitstabelle Wechselschaltung}
    Schaltfunktion einer Wechselschaltung: 
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P1 &= (\overline{A} \wedge B) \vee (A \wedge \overline{B}) \\
        P1 &= (\overline{A} \cdot B) + (A \cdot \overline{B})
    \end{split}
    \end{equation}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c || c|c || c}
        A & B & \begin{math}\overline{A}\end{math} & \begin{math}\overline{B}\end{math} & \begin{math}(\overline{A} \wedge B) \vee (A \wedge \overline{B})\end{math} \\
        \hline
        0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
        0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
        1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
        1 & 1 & 0 & 0 & 0
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsubsection{Wahrheitstabelle Schützschaltung}
    Schaltfunktionen der Schütze:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q1 &= S1 \wedge \overline{S3} \\
        Q2 &= \overline{S1} \wedge \overline{S2} \wedge S3 \\
        Q3 &= \overline{S1} \wedge \overline{S2} \wedge S3
    \end{split}
    \end{equation}
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c || c|c|c}
        S1 & S2 & S3  &  Q1 & Q2 & Q3 \\
        \hline
        0 & 0 & 0  &  0 & 0 & 0 \\
        0 & 0 & 1  &  0 & 1 & 1 \\
        0 & 1 & 0  &  0 & 0 & 0 \\
        0 & 1 & 1  &  0 & 0 & 0 \\
        1 & 0 & 0  &  1 & 0 & 0 \\
        1 & 0 & 1  &  - & - & - \\
        1 & 1 & 0  &  1 & 0 & 0 \\
        1 & 1 & 1  &  1 & 0 & 0
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsection{Arbeitsblatt 2: Übung Grundverknüpfungen}
    Wahrheitstabelle:
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c || c|c|c|c|c|c|c}
        B & A & $A \wedge B$  & $A \vee B$ & $\overline{A \wedge B}$ & $\overline{A \vee B}$ & A XOR B & $A = B$ & $A \wedge \overline{B}$ \\
        \hline
        0 & 0  &  0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
        0 & 1  &  0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
        1 & 0  &  0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
        1 & 1  &  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsection{Arbeitsblatt 3: Schaltungsanalyse}
    Funktionsgleichungen:
    \begin{enumerate}
        \item $Z_1 = A \vee B$
        \item $Z_2 = A \vee (\overline{B} \vee \overline{C} \vee \overline{D})$
        \item $Z_3 = \overline{A} \wedge B \wedge C$
    \end{enumerate}
    \subsection{Arbeitsblatt 4: Licht-Warnsignal}
    Eingänge:
    \begin{enumerate}
        \item $E_1$: Scheinwerfer (AN = 1; AUS = 0)
        \item $E_2$: Motor (AN = 1; AUS = 0)
        \item $E_3$: Fahrertür (AUF = 1; ZU = 0)
    \end{enumerate}
    Das Warnsignal ertönt wenn $A = 1$.
    \\
    Funktionsgleichung: $A = E_1 \wedge \overline{E_2} \wedge E_3$
    \\
    Wahrheitstabelle:
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c || c}
        $E_3$ & $E_2$ & $E_1$  &  $A$ \\
        \hline
        0 & 0 & 0  &  0 \\
        0 & 0 & 1  &  0 \\
        0 & 1 & 0  &  0 \\
        0 & 1 & 1  &  0 \\
        1 & 0 & 0  &  0 \\
        1 & 0 & 1  &  1 \\
        1 & 1 & 0  &  0 \\
        1 & 1 & 1  &  0
    \end{tabular}
    \end{center}
\end{document}