\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{PAR}{Wärmeenergie}{1.6.2022}
    \section{Spezifische Wärmekapazitäten von Materialien}
    Um einen Körper zu erwärmen, muss ihm eine Wärmemenge Q zugeführt werden.
    $Q = m * c * \Delta\vartheta$
    \\
    Eine Wattsekunde entspricht einem Joule.
    $1Ws = 1J$
    $1kWh = 3.6MJ$
    \\
    Benötigte Energie in kJ, um 1kg des jeweiligen Material um 1 Kelvin zu erwärmen.
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c}
        Material & $c [\frac{kJ}{kg*K}]$ \\
        \hline
        Wasser & 4.190 \\
        Öl & 2.090 \\
        Aluminium & 0.899 \\
        Eisen & 0.466 \\
        Kupfer & 0.390 \\
        Blei & 0.130
    \end{tabular}
    \end{center}
    \subsection{Aufgabe 2}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q &= m*c*(\vartheta_2 - \vartheta_1) \\
        \frac{Q}{m*c} &= \vartheta_2 - \vartheta_1 \\
        \vartheta_2 &= \frac{Q}{m*c} + \vartheta_1 \\
        \vartheta_2 &= \frac{1508kJ}{5kg*4.19\frac{kJ}{kg*K}} + 18°C \\
        \vartheta_2 &= 72K + 18K = 90°C
    \end{split}
    \end{equation}
    Alternative Berechnung:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \Delta\vartheta &= \frac{Q}{c_5} \\
        \Delta\vartheta &= \frac{1508kJ}{4.19\frac{kJ}{kg*K}*5} \\
        \Delta\vartheta &= 71.98K
    \end{split}
    \end{equation}
    Die Endtemperatur beträgt 90°C.
    \subsection{Aufgabe 7}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        m_1 &= 80kg \\
        m_2 &= {gesucht} \\
        \vartheta_1 &= 55°C \\
        \vartheta_2 &= 15°C \\
        \vartheta_m &= 48°C \\
        m_m * \vartheta_m &= m_1 * \vartheta_1 + m_2 * \vartheta_2 \\
        (m_1 + m_2) * \vartheta_m &= m_1 * \vartheta_1 + m_2 * \vartheta_2 \\
        m_1 * \vartheta_m + m_2 * \vartheta_m &= m_1 * \vartheta_1 + m_2 * \vartheta_2 \\
        m_2 * \vartheta_m - m_2 * \vartheta_2 &= m_1 * \vartheta_1 - m_1 * \vartheta_m \\
        m_2 * \vartheta_{m-2} &= m_1 * \vartheta_{1-m} \\
        m_2 &= \frac{m_1 * \vartheta_{1-m}}{\vartheta_{m-2}} \\
        m_2 &= \frac{80kg * (55°C - 48°C)}{(48°C - 15°C)} \\
        m_2 &= 16.\overline{96}kg
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Aufgabe 8}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        t &= 7min \\
        m &= 50kg \\
        U &= 400V \\
        \vartheta_1 &= 10°C \\
        \vartheta_2 &= 45°C \\
        \Delta\vartheta &= 35K
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil a - Zugeführte Wärmemenge}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        Q &= m * c * \Delta\vartheta \\
        Q &= 50kg * 4.19\frac{kJ}{kg*K} * 35K \\
        Q &= 7332.5kJ
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil b - Elektrische Arbeit}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \eta &= 1 \\
        W &= \frac{Q}{\eta} \\
        W &= \frac{7332.5kJ}{1} \\
        W &= 7332.5kWs / 3600\frac{s}{h} \\
        W &= 2.03680\overline{5}kWh
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil c - Elektrische Leistung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= \frac{W}{t} \\
        P &= \frac{2.037kWh}{7min / 60\frac{min}{h}} \\
        P &= 17.46kW \\
        I &= \frac{P}{U} \\
        I &= \frac{17.46kW}{400V} \\
        I &= 43.65A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Aufgabe 9}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= 2kW \\
        m &= 5kg \\
        \vartheta_1 &= 11°C \\
        \vartheta_2 &= 50°C \\
        \Delta\vartheta &= 39K \\
        Q &= m * c * \Delta\vartheta \\
        Q &= 5kg * 4.19\frac{kJ}{kg*K} * 39K \\
        Q &= 817.05kJ \\
        W &= \frac{Q}{3600\frac{s}{h}} \\
        W &= 0.226958\overline{3}kWh \\
        t &= \frac{W}{P} \\
        t &= \frac{0.227kWh}{2kW} \\
        t &= 0.1135h = 6.81min
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}