\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{PAR}{Leitungsberechnung}{23.3.2022}
    \section{Bemessungsstrom}
    \begin{equation}
        I = \frac{P}{U * cos\varphi}
    \end{equation}
    \section{Leitwert von Kupfer und Aluminium}
    \begin{align}
        \kappa_{Cu} &= 56 \frac{m}{mm^2 * \Omega} \\
        \kappa_{Al} &= 37 \frac{m}{mm^2 * \Omega}
    \end{align}
    \section{Spannungsfall}
    \begin{quote}
        Der Spannungsfall ab der Abgangsklemme (Endstromkreis) im Stromkreisverteiler bis zum Anschluss des Verbrauchers sollte 3\% nicht überschreiten.
        \\
        Bei Berechnung des Spannungsfalls ist in der Regel der Nennstrom der vorgeschlateten Überstrom-Schutzeinrichtung zugrunde zu legen.
    \end{quote}
    Der Spannungsfall berechnet sich unterschiedlich für die jeweiligen Stromarten.
    \subsection{Gleichstrom}
    \begin{equation}
        \Delta U = \frac{2 * l * I}{\gamma * A}
    \end{equation}
    \subsection{Einphasenwechselstrom}
    \begin{equation}
        \Delta U = \frac{2 * l * I * cos\varphi}{\gamma * A}
    \end{equation}
    \subsection{Drehstrom}
    \begin{equation}
        \Delta U = \frac{\sqrt{3} * l * I * cos\varphi}{\gamma * A}
    \end{equation}
    \subsection{Berechnung von Spannungsfall}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \Delta U &= R * I \\
        \Delta U &= \frac{2 * l * I * cos\varphi}{\kappa * q} \\
        \Delta U &= \frac{2 * 18[m] * 16[A] * 1}{56 \frac{m}{\Omega * 4[mm^2]}} \\
        \Delta U &= 2.57 [V]
    \end{split}
    \end{equation}
    \section{Strombelastbarkeit}
    Die Strombelastbarkeit berechnet sich grundsätzlich wie folgt:
    \begin{equation}
        I_Z = I_r * f_1 * f_2 * f_3 * f_4
    \end{equation}
    Hierbei stehen die Variablen für folgende Werte: \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c}
        $ I_Z $ & Bemessungswert der Strombelastbarkeit \\
        \hline
        $ f_1 $ & Umrechnungsfaktor für abweichende Umgebungstemperatur \\
        \hline
        $ f_2 $ & Umrechnungsfaktor für Häufung von Leitungen oer Kabeln \\
        \hline
        $ f_3 $ & Umrechnungsfaktor für mehr als 3 belastete Adern \\
        \hline
        $ f_4 $ & Umrechnungsfaktor für Oberschwingungsströme \\
    \end{tabular}
    \end{center}
    Der Leitungsquerschnitt darf nur innerhalb der Verteilung um maximal eine Abstufung verringert werden.
    \\
    Außerhalb der Verteilung ist dies ohne zusätzliche Absicherung an keiner Stelle erlaubt.
    \section{Dampfbügelautomat}
    Es soll eine Steckdose für einen Dampfbügelautomat mit einer Bemessungsleistung von 3kW und einem Wirkungsgrad von 1 installiert werden.
    Die Verlegung erfolgt in einem Kabelkanal, und verläuft durch einen Heizungsraum (35°C).
    \subsection{Zulässige Belastung}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= U * I * cos\varphi \\
        I &= \frac{P}{U * cos\varphi} \\
        I &= \frac{3000 W}{230 V * 1}
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Gewählte Absicherung}
    Die gewählte Absicherung beträgt $ I_N = 16A $, denn es soll eine Steckdose installiert werden.
    \subsection{Bestimmung der Verlegeart}
    Die Verlegeart lautet B2. Die Einflussfaktoren sind wie folgt: \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c|c}
        $ f_1 $ & $ 0.94 $ & Umrechnungsfaktor für abweichende Umgebungstemperatur \\
        \hline
        $ f_2 $ & $ 0.6 $ & Umrechnungsfaktor für Häufung von Leitungen oer Kabeln \\
        \hline
        $ f_3 $ & $ 1 $ & Umrechnungsfaktor für mehr als 3 belastete Adern \\
        \hline
        $ f_4 $ & $ 1 $ & Umrechnungsfaktor für Oberschwingungsströme \\
    \end{tabular}
    \end{center}
    Referenz: Siehe Seite 97 im Tabellenbuch
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_Z &= I_r * f_1 * f_2 * f_3 * f_4 \\
        I_Z &= 23[A] * 0.94 * 0.6 * 1 * 1 \\
        I_Z &= 13[A]
    \end{split}
    \end{equation}
    Nun soll zusätzlich in der Nähe eine Steckdose installiert werden.
    Hierfür wird eine Absicherung von 16 A benötigt.
    Wenn wir nun die Zuleitung über $4mm^2$ mit $I_r = 16A$ absichern, so beträgt der zulässige Querschnitt für diese Steckdose $2.5mm^2$,
    denn die Belastbarkeit ist mit 23 A innerhalb des Limits von 16 A für eine Steckdose.
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_Z &= I_r * f_1 * f_2 * f_3 * f_4 \\
        I_Z &= 23[A] * 1 * 1 * 1 + 1 \\
        I_Z &= 23[A]
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Berechnung von Strombelastbarkeit anhand der gewünschten Absicherung}
    Bei einer gewünschten Absicherung mit 16 Ampere muss die Leitung anhand der folgenden Mindestbelastbarkeit gewählt werden:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_Z &= 16[A] \\
        I_r &= \frac{I_Z}{f_1 * f_2 * f_3 * f_4} \\
        I_r &= 28.37[A]
    \end{split}
    \end{equation}
    \section{Aufgaben 2 und 3}
    \subsection{Aufgabe 2}
    Gegeben sind für die Verlegeart C:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        l &= 35m \\
        q &= 4mm^2 \\
        I_r &= 36A \\
        U &= 230V \\
        cos\varphi &= 1
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil a - Berechnung der möglichen Leistung bei 3\% Spannungsfall}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \Delta U &= \frac{2 * l * I * cos\varphi}{\kappa * q} \\
        I &= \frac{\Delta U * \kappa * q}{2 * l * cos\varphi} \\
        I &= \frac{6.9[V] * 56 \frac{[m]}{[\Omega] * [mm^2]} * 4[mm^2]}{2 * 35[m] * 1} \\
        I &= 22.08[A] \\
        P_{max} &= 223.1[V] * 22.08[A] * 1 \\
        P_{max} &= 4.92[kW]
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil b - Berechnung der übertragbaren Leistung bei zusätzlich gehäufter Verlegung und 30°C}
    Gegeben sind:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        q &= 4mm^2 \\
        I_r &= 36A \\
        \kappa &= \frac{56m}{\Omega * mm^2} \\
        l &= 35m
    \end{split}
    \end{equation}
    Rechnung:    
    \begin{equation}
    \begin{split}
        q &= 4mm^2 \\
        I_r &= 36A \\
        P &= U * I * cos\varphi \\
        I_Z &= I_r * f_1 * f_2 * f_3 * f_4 \\
        I_Z &= 36[A] * 1 * 0.72 * 1 * 1 \\
        I_Z &= 25.92[A]
    \end{split}
    \end{equation}
    Der Strom darf maximal $I = 22.08A$ bei $\Delta U = 3\%$ betragen.
    Die Leitung kann bei den gegebenen Bedingungen $I_Z = 25.2A$ führen.
    D.h. es muss mit $I_N = 20A$ abgesichert werden.
    \\
    Als Endergebnis ergibt sich unter Berücksichtigung des Spannungsfalls eine maximale Leistung von
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \Delta U &= \frac{2 * l * I * cos\varphi}{\kappa * q} \\
        \Delta U &= \frac{2 * 35[m] * 20[A] * 1}{\frac{56[m]}{[\Omega] * [mm^2]} * 4[mm^2]} \\
        \Delta U &= 6.25[V] \\
        P_{max} &= U * I * cos\varphi \\
        P_{max} &= 223.75[V] * 20[A] * 1 \\
        P_{max} &= 4.475[kW]
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Aufgabe 3 - Elektrogrill}
    Gegeben sind:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= 2kW \\
        U &= 230V \\
        I &= \frac{2000W}{230V} \\
        I &= 8.696A \\
        I_N &= 16A
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Berechnung Spannungsfall}
    Elektrogrill Spannungsfall:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= 2kW \\
        I &= 8.7A \\
        U &= 230V \\
        \Delta U &= 8.29V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Welche Leistung hat der Grill?}
    Berechnung über den Widerstand $R_{Grill}$ des Grills:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \Delta U &= 8.29V \\
        U &= 221.71V \\
        R_{Grill} &= \frac{U_0}{I_0} \\
        R_{Grill} &= \frac{230V}{8.7A} \\
        R_{Grill} &= 26.44\Omega \\
        P &= \frac{(U_0 - \Delta U) ^ 2}{R} \\
        P &= \frac{(230V - 8.29V) ^ 2}{26.44\Omega} \\
        P &= 1859.35W
    \end{split}
    \end{equation}
    Alternativ berechenbar über den Strom I:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I_{neu} &= \frac{U_{Grill}}{R_{Grill}} \\
        I_{neu} &= \frac{221.7V}{26.44\Omega} \\
        I_{neu} &= 8.39A \\
        P_{neu} &= U_{Grill} * I_{neu} * cos\varphi \\
        P_{neu} &= 221.7V * 8.39A * 1 \\
        P_{neu} &= 1859W
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Einphasen Wechselstrommotor}
    Die Zuleitung für einen Einphasen-Wechselstrommotor hat eine Länge $l = 54m$.
    \\
    Bei Motoren steht auf dem Typenschild die an der Welle abgegebene \underline{mechanische} Leistung $P_2$ oder $P_{ab}$.
    \\
    \begin{center}
    \begin{tabular}{c|c}
        Wirkungsgrad & $\eta = \frac{P_{2}}{P_{1}}$ \\
        Leistungsfaktor & $cos\varphi = \frac{P}{s}$  \\
        \hline
        Eingehende elektrische Leistung & $P_1$\\
        Ausgehende mechanische Leistung & $P_2$\\
        Verlustleistung & $P_v$ \\
        Scheinleistung & $s$ \\
        \hline
        Anwendung des Wirkungsgrades & $P_1 * cos\varphi = P_2$
    \end{tabular}
    \end{center}
    Gegeben sind:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 230V \\
        cos\varphi &= 0.84 \\
        \eta &= 0.82 \\
        P_2 &= 2.2kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgenommene Leistung des Motors}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P_1 &= \frac{P_2}{\eta} \\
        P_1 &= \frac{2.2kW}{0.82} \\
        P_1 &= 2.68kW
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Aufgabenteil a}
    Bestimmen sie den Leiterquerschnitt (für einen Anlaufstrom $I_A = 5*I_N$).
    \\
    Gewählte Absicherung: $I_N = 16A$
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I &= \frac{P_1}{U * cos\varphi} \\
        I &= \frac{2.68kW}{230V * 0.84} \\
        I &= 13.87A \\
        I_r &= \frac{I_N}{f_1 * f_2 * f_3 * f_4} \\
        I_r &= \frac{16A}{0.94 * 0.65 * 1 * 1} \\
        I_r &= 26.6A \\
        I_Z &= I_{r0} * f_1 * f_2 * f_3 * f_4 \\
        I_Z &= 30A * 0.94 * 0.65 * 1 * 1 \\
        I_Z &= 18.33A
    \end{split}
    \end{equation}
    Die Bedingung $I_N < I_Z < I_r$ ist zutreffend für einen Querschnitt von $q = 4mm^2$.
    \subsection{Kochendwassergerät}
    Bestimmung des Leiterquerschnitts für ein Kochendwassergerät.
    \\
    Gegeben sind für die Verlegeart B2 bei 25°C:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        P &= 2.3kW \\
        U &= 230V \\
        l &= 25m
    \end{split}
    \end{equation}
    Die Berechnung für eine gewählte Absicherung von $16A$:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        I &= \frac{2.3kW}{230V} \\
        I &= 10A \\
        I_r &= \frac{I_N}{f_1 * f_2 * f_3 * f_4} \\
        I_r &= \frac{16A}{1.06 * 0.65 * 1 * 1} \\
        I_r &= 23.22A \\
        I_Z &= I_{r0} * f_1 * f_2 * f_3 * f_4 \\
        I_Z &= 30A * 1.06 * 0.65 * 1 * 1 \\
        I_Z &= 20.67A
    \end{split}
    \end{equation}
    Die Bedingung $I_N < I_Z < I_r$ ist zutreffend für einen Querschnitt von $q = 4mm^2$.
\end{document}
