\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{PAR}{Brückenschaltung}{22.6.2022}
    \section{Einführung Brückenschaltung}
    Gegeben ist die folgende Grundschaltung bei der $R_1$ + $R_2$, und $R_3$ + $R_4$ jeweils in Reihe geschaltet sind. Diese Stränge sind parallel zueinander geschaltet.
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_0 &= 50V \\
        R_1 &= 50\Omega \\
        R_2 &= 100\Omega \\
        R_3 &= 50\Omega \\
        R_4 &= 100\Omega \\
        R_{ges} &= \frac{1}{\frac{1}{R_1 + R_2} + \frac{1}{R_3 + R_4}} \\
        R_{ges} &= \frac{1}{\frac{1}{50\Omega + 100\Omega} + \frac{1}{50\Omega + 100\Omega}} \\
        R_{ges} &= 75\Omega \\
        I_{ges} &= \frac{U_{ges}}{R_{ges}} \\
        I_{ges} &= \frac{50V}{75\Omega} \\
        I_{ges} &= 0.\overline{6}A \\
        I_{1+2} = I_{3+4} &= \frac{U_{ges}}{R_1 + R_2} \\
        I_{1+2} = I_{3+4} &= \frac{50V}{150\Omega} \\
        I_{1+2} = I_{3+4} &= 0.\overline{3}A \\
        U_{R_1} = U_{R_3} &= R_1 * I_1 \\
        U_{R_1} = U_{R_3} &= 50\Omega * 0.33 \\
        U_{R_1} = U_{R_3} &= 16.67V \\
        U_{R_2} = U_{R_4} &= R_1 * I_1 = U_{ges} - U_{R_1} \\
        U_{R_2} = U_{R_4} &= 100\Omega * 0.33 \\
        U_{R_2} = U_{R_4} &= 33.33V
    \end{split}
    \end{equation}
    Somit entsteht eine Potentialdifferenz von $U_{1,2} = 0V$.
    \\
    Nun werden $R_3$ und $R_4$ ausgetauscht.
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R_3 &= 247\Omega \\
        R_3 &= 494\Omega \\
        \frac{R_1}{R_2} &= \frac{R_3}{R_4} \\
        \frac{1}{2} &= \frac{1}{2}
    \end{split}
    \end{equation}
    Damit bleibt die Potentialdifferenz der Brückenschaltung $U_{1,2} = 0V$, denn die Faktoren bleiben gleich. Die Brückenschaltung ist 'abgeglichen'.
    \section{Temperaturen messen mit einer Brückenschaltung}
    \subsection{Temperaturabhängige Widerstände}
    Ein temperaturabhängiger Widerstand wird durch ein Pfeilpaar gekennzeichnet.
    Hierbei steht der erste Pfeil, der für steigende Temperatur steht, für die Temperaturänderung; der zweite für die resultierende Änderung des Widerstandes.
    \\
    Somit ist ein Widerstand mit dem Pfeilpaar $\uparrow\downarrow$ ein sogenannter Heißleiter, denn bei steigender Temperatur sinkt der Widerstand. \\
    Entgegen dazu ist ein Widerstand mit der Kennzeichnung $\uparrow\uparrow$ ein Kaltleiter, denn mit steigender Temperatur steigt der Widerstand.
    \subsection{Berechnen der gewünschten Widerstände}
    Um bei 0°C eine Brückenspannung von 0V zu erhalten, wird folgende Berechnung für den Widerstand von $R_3$ verwendet:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \frac{R_1}{R_2} &= \frac{R_3}{R_4} \\
        R_3 &= \frac{R_1}{R_2} * R_4
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Brückenspannung bei 25°C und NTC für 2.2k}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R_1 = R_2 &= 10k\Omega \\
        R_3 &= 7k\Omega \\
        R_4 &= 2.2k\Omega \\
        I_{1,2} &= \frac{U_{ges}}{R_{1+2}} \\
        I_{1,2} &= \frac{24V}{10k\Omega + 10k\Omega} \\
        I_{1,2} &= 1.2mA \\
        I_{3,4} &= \frac{24V}{7k\Omega + 2.2k\Omega} \\
        I_{3,4} &\simeq 2.609mA \\
        U_{R_1} = U_{R_2} &= 12V \\
        U_{R_3} &= R_3 * I_{3,4} \\
        U_{R_3} &= 7k\Omega * 2.609mA \\
        U_{R_3} &= 18.263V \\
        U_{R_4} &= U_{ges} - U_{R_3} \\
        U_{R_4} &= 24V - 18.263V \\
        U_{R_4} &= 5.737V \\
        U_{AB} &= U_{R_2} - U_{R_4} \\
        U_{AB} &= 12V - 5.737V \\
        U_{AB} &= 6.263V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Brückenspannung durch Maschenregel}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U_{R_1} + U_{AB} + (-U_{R_3}) &= 0V \\
        U_{R_1} + U_{AB} - U_{R_3} &= 0V \\
        12V + 6.263V - 18.263V &= 0V
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Brückenspannung bei 20°C und NTC für 2.2k}
    \begin{equation}
    \begin{split}
        R_1 = R_2 &= 10k\Omega \\
        R_3 &= 7k\Omega \\
        R_4 &= 3k\Omega \\
        I_{3,4} &= \frac{U_{ges}}{R_{3+4}} \\
        I_{3,4} &= \frac{24V}{7k\Omega + 3k\Omega} \\
        I_{3,4} &= 2.4mA \\
        U_{R_1} = U_{R_2} &= 12V \\
        U_{R_3} &= R_3 * I_{3,4} \\
        U_{R_3} &= 7k\Omega * 2.4mA \\
        U_{R_3} &= 16.8V \\
        U_{R_4} &= U_{ges} - U_{R_3} \\
        U_{R_4} &= 24V - 16.8V \\
        U_{R_4} &= 7.2V \\
        U_{AB} &= U_{R_2} - U_{R_4} \\
        U_{AB} &= 12V - 7.2V \\
        U_{AB} &= 4.8V
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}