\documentclass{../bkbp}
\begin{document}
    \heading{KRT}{Kondensator}{10.3.2022}
    \section{Plattenkondensator}
    Ein Kondensator muss immer in Reihe mit einem Widerstand geschaltet sein,
    da der Kondensator im geladenen Zustand nahezu keinen Innenwiderstand hat.

    \subsection{Aufladung}
    Ein Kondensator ist nach ungefähr 5 Tau vollständig Aufgeladen. \\
    Nach der Zeit \begin{math} t = \tau \end{math} erhöht sich die Spannung des Kondensators um 63\% des vorherigen Wertes.
    \begin{equation}
        \tau_C \simeq 5\tau
    \end{equation}
    Die Konstante Tau berechnet sich wie folgt aus dem Widerstand und der Kapazität des Kondensators:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \tau &= R * C \\
        [\tau] &= [\Omega * F] \\
        [\tau] &= [\frac{V}{A} * \frac{As}{V}]
    \end{split}
    \end{equation}

    \subsection{Kapazität}
    Die Kapazität de Plattenkondensators berechnet sich aus der Elektrischen Feldkkonstante,
    der Permittivitätszahl, und den Eigenschaften (Plattenfläche und Plattenabstand) des Kondensators.
    \begin{equation}
    \begin{split}
        C &= \varepsilon_0 * \varepsilon_r * \frac{A}{d} \\
        \varepsilon_0 &= 8.86 * 10^{-12} As/Vm
    \end{split}
    \end{equation}

    \subsubsection{Beispiel}
    Hier eine Beispielrechnung anhand folgender gegebener Werte:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        d &= 100µm \rightarrow 100 * 10^{-6}m \\
        A &= 0.04m * 5m = 0.20m^2 \\
        \varepsilon_r &= 10 \\
        \varepsilon_0 &= 8.85\frac{pF}{m}
    \end{split}
    \end{equation}
    Berechnung:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        C &= \varepsilon_0 * \varepsilon_r * \frac{A}{d} \\
        C &= 8.85\frac{pF}{m} * 10 * \frac{0.2m^2}{0.0001m} \\
        C &= 8.85\frac{pF}{m} * 10 * 2000m \\
        C &= 177000pF \\
        C &= 177\mu F
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsection{Gespeicherte Leistung des Kondensators}
    Die Leistung des geladenen Kondensators wird berechnet aus der Kapazität und der Spannung:
    \begin{equation}
        W = \frac{1}{2} * C * U^2
    \end{equation}
    Diese Formel kann wie folgt umgestellt werden, um die Kapazität mithilfe der Leistung zu errechnen:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        \frac{W}{U^2} &= \frac{1}{2}C \\
        2\frac{W}{U^2} &= C
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Beispielrechnung 1: Handyakku}
    Daraus lässt sich errechnen, dass, um eine Leistung von 3,200 mAh zu speichern, ein Kondensator von Folgender Kapazität benötigt wird:
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 3.7V \\
        P &= 3.2Ah \\
        W &= 3.2Ah * 3.7V \\
        W &= 11.84Wh \\
        C &= 2 * \frac{W}{U^2} \\
        C &= 2 * \frac{11.84Wh * 3600}{3.7V^2} \\
        C &= 2 * \frac{42624VAs}{3.7V^2} \\
        C &= 6227.03\frac{As}{V} \\
        C &= 6227.03 F
    \end{split}
    \end{equation}
    \subsubsection{Beispielrechnung 2: Taschenrechner}
    Nun wollen wir eine kleine Leistung speichern, um den Speicher einen Taschenrechners zu betreiben.
    \begin{equation}
    \begin{split}
        U &= 1.25V \\
        P &= 0.5mAh \\
        W &= 0.5mAh * 1.25V \\
        W &= 6.25mWh * \frac{3600s}{1000} \\
        W &= 2.25Ws \\
        C &= 2 * \frac{W}{U^2} \\
        C &= 2 * \frac{2.25Ws}{1.25V^2} \\
        C &= 2.88F
    \end{split}
    \end{equation}
\end{document}